¿Qué es la raíz cuadrada de 'menos uno'? O sea, queremos saber si exista un número que, cuando lo multiplicamos por si mismo, produzca la solución '-1'.

En el aritmética, un negativo multiplicado por un negativo, siempre da positivo. (Tomar una deuda desde alguien - es como acreditarle una suma positiva de dinero). Así, porque [-1 cuadrado] da '+1', la respuesta a Ö[-1] no puede ser 'menos uno', (ni puede ser 'más uno').

Por lo que se refiere a los números ordinarios y corrientes, 'la raíz cuadrada de menos uno' no existe. Sin embargo, matemáticos lo encuentran útil inventar un completamente nuevo tipo de número para cumplir ese papel. Ellos decidieron asumir que dicha raíz realmente existió, escribiendo el 'i' para representarla. (La letra 'i' fue escogida porque es de "imaginario").

Por tanto, ahora podemos encontrar la raíz cuadrada de 'menos cuatro': la respuesta es '2i', porque

También pueden calcularse las raíces cuadradas de 'menos 25', de 'menos 49' y 'menos 100'. En este nuevo ramo de matemática, un totalmente nuevo reino de números se ha creado - (coexistiendo con nuestros números familiares, los cuales no manifestan ningunos símbolos 'i').

Incluso es posible que estos dos tipos diferentes de número aparezcan lado a lado dentro de la misma entidad. Considera [2+i] por ejemplo: es simplemente la cantidad '2' agregada a 'i'. Tales mezclas se llaman "números complejos". (Cantidades ordinarias que no contienen ningún 'i', se nombran "números reales").

Como otra ilustración, [8-3i] también es un "número complejo" - y no hay ninguna manera más corta de escribirlo. Nunca es posible multiplicar o agregar un 'i' con un número ordinario, para producir otro número ordinario (o "real").

Sin embargo, es interesante que algunos números elevados a la potencia de 'i', puedan producir de vez en cuando una real (u ordinaria) respuesta. Por ejemplo, iⁱ es casi 0,2079, aunque sería demasiado difícil aquí mostrarte por qué. De hecho, este último cálculo no tiene mucho sentido, en parte porque  iⁱ puede producir otros valores.

No obstante, hay un número especial (aproximadamente 23,1407) que, elevado a la potencia de 'i', da (enigmáticamente) una respuesta 'menos uno' - y (¡por favor, créeme!) este resultado es sumamente importante y útil en la teoría de los números complejos. (23,1407 es e^p, en caso de que estés preguntándote).

Es aclaratorio retratar los números complejos en un gráfico. Para colocar la cantidad [3+2i], mide tres unidades al derecho, y dos hacia arriba. Por los valores negativos, mueve hacia abajo (si el i-componente es negativo), o a la izquierda (cuando su porción real es negativa).

Este gráfico, llamado un "Diagrama de Argand", ilustra cómo las raíces cúbicas (y las raíces más altas) tienen una simetría bonita. Pero ésta simetría no es nada obvia - cuando escribimos esas raíces como números (que a menudo aparecen muy incómodos).

¿Por ejemplo, que es la raíz cúbica de '8'? Sí, una de las respuestas es '2', pero hay dos soluciones más:

Puedes verlas todas aquí:

Aun cuando tu conocimiento de álgebra sea muy elemental, puedes probar y verificar fácilmente aquellas raíces cúbicas incómodas. Toma cualquiera, y escríbela tres veces (en la misma línea); entonces, multiplica esas tres 'entidades' juntas (ve abajo). Recuerda que i² = -1; (luego, i³ = - i). Sería más exacto trabajar con Ö3 (en lugar de 1,732, que es sólo una aproximación); por tanto multiplica

Fíjate lo que pasa cuando ponemos esas tres raíces cúbicas en el Diagrama de Argand (arriba): ellas forman un triángulo equilátero. Además, las distancias son todas iguales de cada raíz-punto al cero-punto central. Y algo muy similar pasa con las quintas-raíces, o las octavas-raíces, o de hecho con cualquieras otras raíces.

Por ejemplo, la quinta-raíz de '32' es '2' (porque 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 = 32), pero si permitimos las soluciones complejas, hay también cuatro otras 5^as-raíces. Cuando todas las cinco se colocan en un Diagrama de Argand, ellas forman un pentágono regular alrededor del centro del gráfico. Así, parece que este dibujo representa muy claramente los números complejos. (Sin duda, si escribimos las raíces como valores numéricos, perdimos la simetría - y no apreciamos el hecho de que todas las raíces poseen un rango igual).

También recuerda que todos los números tienen dos raíces cuadradas, no sólo uno. Para '9', por ejemplo, ellas son  '+3'  y  '-3'. Para '-1', ellas son  '+i'  y  '-i'. La simetría todavía está allí cuando se colocan pares como éstos en un Diagrama de Argand, pero las raíces más altas la ilustran en una moda más llamativa.

Ahora ya, probablemente estás preguntando "¿Qué uso es todo esto"? Por supuesto, es imposible coleccionar 'i' objetos, ni puedes caminar ' 'i' metros. Tampoco puedo prestarte 'i' euros o dólares.

Sin embargo, los números complejos pueden representar (por analogía) ciertas situaciones; así, ellos nos ayudan entender y solucionar dichas situaciones. Por ejemplo, cuando un fluido está fluyendo o arremolinándose en un patrón complicado, el movimiento de cada partícula puede representarse por un número complejo en un Diagrama de Argand. Hay varias reglas por manipular los números complejos (como entidades solas), y podemos aplicarlas para examinar cuales cambios se esperarían en el flujo - bajo condiciones diferentes.

Esto es útil en la meteorología. Obligados a usar el álgebra ordinaria, necesitamos dos ecuaciones separadas de movimiento: una para el flujo del norte-sur, y otra para el flujo del este-oeste. Coordinar esas dos ecuaciones es laborioso, pero con los números complejos sólo una ecuación basta - que es más fácil.

La electricidad es otra rama de ciencia que emplea los números complejos. Una corriente alterna siempre surge a su voltaje máximo, y después se disminue y surge en la otra dirección bajo el voltaje negativo. Ese proceso puede representarse fácilmente en un Diagrama de Argand por un brazo girando. Un extremo del brazo se fija al centro; la altura del otro extremo muestra el voltaje instantáneo.

Cuando una bobina de la inducción se inserta en un circuito, empuja el voltaje alterno fuera de fase por un cuarto de una onda - que equivale a un giro de 90 grados en nuestro Diagrama de Argand modificado. Un condensador produce un cambio similar de la fase, pero en la dirección opuesta. El resultado global depende entonces de las fuerzas relativas de todos los carretes y condensadores presentes.

En un dibujo de un brazo rodando, hay una regla increíblemente simple para girarlo por 90 grados: multiplicamos el número complejo por 'i'. Así, cuando un circuito eléctrico se refiere a su Diagrama de Argand correspondiente, todas las fórmulas asociadas se ponen compactas y manejables, aun cuando ellas contienen una rociada de i's.

Claro, nunca es posible tener un i-número de voltios o amperios u ohmes, pero con esas fórmulas podemos deducir fácilmente el tamaño y la fase del voltaje resultante.

A propósito, electricistas escriben 'j' para Ö(-1) en lugar de 'i', porque usan 'i' por la corriente. A menudo, se trata de una red extendida de varios circuitos entrelazados: ése sería un problema muy formidable sin los números complejos.

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